数学奥林匹克竞赛教程-初中数学奥林匹克竞赛技巧大全doc格式【word版】-东坡下载

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初中数学奥林匹克竞赛教程内容节选

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但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．

A1－003 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．

【题说】 1962年上海市赛高三决赛题 1．

【证】四个连续自然数的乘积可以表示成

n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1

因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．

A1－004 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．

【题说】 1963年全俄数学奥林匹克十年级题2．算术级数有无穷多项．

【证】设此算术级数公差是 d，且其中一项 a＝m2（m∈N）．于是

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【题说】1993年亚太地区数学奥林匹克题4．

【解】显然，n只能为奇数．

当n=1时，x=－4．

当n为不小于3的奇数时，方程左边是首项系数为1的非负整系数多项式，常数项是2n+1，所以它的整数解只能具有－2t的形式，其中t为非负整数．若t=0，则x=－1，它不是方程的解；若t=1，则x=－2，也不是方程的解；当t≥2时，方程左边=2n[－2n（t-1）＋（1－2t-1）n＋（1＋2t-1）n]，而－2n（t-1）＋（1－2t-1）n＋（1＋2t-1）n≡2（mod 4），从而方程左边不等于零．

综上所述，当且仅当n=1时，原方程有一个整数解x=－4．

A5－033 每一个大于2的自然数n都可以表示为若干个两两不等的正整数之和．记这些相加数个数的最大值为A（n），求A（n）．

【题说】1993年德国数学奥林匹克（第一轮）题1．

【解】对任意自然数n（n≥3），存在自然数m

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